디지털 영상 표현

 

두 연속 변수 s와 t의 연속 영상 함수를 f(s, t)로 표기하자. 전 게시물의 설명과 같이, 이 함수를 샘플링하고 양자화해서 디지털 영상으로 변환한다. 연속 영상을 M개 행과 N개 열을 포함하는 2-D 배열 f(x,y)로 샘플링한다고 하자. 여기서 (x,y)는 이산 좌표들이다. 표기의 명료성과 편의상, 이 이산 좌표들에 정수 값을 사용한다: x = 0, 1, 2, ..., M-1 그리고 y = 0, 1, 2, ..., N-1. 따라서, 예를 들어 원점에서의 디지털 영상 값은 f(0,0)이며, 첫 행의 그 다음 좌표에서의 값은 f(0,1)이다. 여기서 표기 (0,1)이 첫 행의 두 번째 샘플을 나타내기 위해 사용되었다. 이 값들은 영상이 샘플링 되었을 때의 물리적 좌표들의 값이 아니다. 일반적으로 임의의 좌표 (x,y)에서의 영상의 값은 f(x,y)로 표기된다. 여기서 x와 y는 정수이다. 영상의 좌표들에 의해 표현되는 실수 평면 영역을 공간 도메인이라고 부른다. 그리고 x와 y를 공간 변수 또는 공간 좌표라고 부른다. 아래 그림에서 보여주듯이 f(x,y)를 나타내기 위한 세 가지 기본적인 방법이 있다. 그림 (a)는 함수를 도형으로 그린 것이며, 두 축이 공간 위치를 결정하고 세 번째 축은 두 공간 변수 x와 y의 함수로서의 f의 값(밝기)이다. 비록 이 예에서는 그림을 보고 영상의 구조를 추론할 수 있지만, 복잡한 영상은 일반적으로 이러한 그림으로부터 해석하기에는 너무 자세하고 어렵다. 이 표현은 요소들이 (x,y,z) 형태의 트리플릿으로 표현되는 그레이-스케일 집합들을 다룰 때 유용하다. 여기서 x와 y는 공간 좌표, z는 좌표 (x,y)에서의 f의 값이다.

그림(b)의 표현이 훨씬더 보편적인 편이다. 이것은 f(x,y)를 모니터나 사진에 나타낼 때와 같이 보여준다. 여기서 각 점의 밝기는 그 점에서의 f의 값에 비례한다. 이 그림에는 단 세 개의 등간격 밝기 값이 있다. 만일 밝기가 구간 [0, 1]로 정규화된다면, 영상의 각 점은 값 0, 0.5, 또는 1.0을 가진다. 모니터나 프린터는 그림(b)가 보여주듯이 단순히 이 세 값을 각각 흑색, 그레이, 또는 백색으로 변환한다. 세 번째 표현은 단순히 f(x,y)의 수치 값들을 배열(매트릭스)로 표시하기 위한 것이다. 이 예에서 f는 크기가 600 × 600 요소 또는 360,000개의 숫자이다. 분명히 전체 배열을 인쇄하는 것은 미련하며 정보도 거의 전달하지 못한다. 그러낭 ᅟᅡᆯ고리즘을 개발할 때, 영상의 일부만이 수치 값들로서 인쇄되고 분석될 때는 이 표현이 매우 유용하다. 그림(c)가 이 개념을 확실하게 전달한다. 영상 표시는 결과를 한 눈에 볼수 있게 해준다. 수치 배열은 처리 및 알고리즘 개발을 위해 사용된다.

 

식 형태로는 M × N 수치 배열의 표현으로 쓴다. 이 식의 양변은 디지털 영상을 정량적으로 표현하는 등가 방법이다. 우변은 실수 매트릭스이며, 이 매트릭스의 각 요소는 화소(image element, picture element, pixel, pel)라고 불린다. 어떤 때는 디지털 영상과 그 요소들을 나타내는 데 아래 행렬식과 같이 전통적인 매트리스를 사용하는 것이 편리하다.

 

영상을 벡터 v로 표현할 수도 있다. 예를 들어, 크기가 MN × 1인 열 벡터는, v의 처음 M개 요소는 A의 첫 열, v의 그 다음 M 요소들은 A의 두 번째 열, 기타 등등으로 놓아서 형성된다. 대안적으로, 그러한 벡터를 형성하기 위해 A의 열들 대신에 행들을 사용할 수 있다.

 

맨 위 그림으로 잠깐 돌아가서, 디지털 영상의 원점이 왼쪽 위에 있으며, x-축의 양의 방향은 아래쪽이고, y-축은 오른쪽으로 향해 있음을 주목한다. 이것은 많은 영상 표시기들(ex. 모니터)이 왼쪽 위에서 시작해서 오른쪽으로 이동하면서 한번에 한행씩 영상을 주사한다는 사실에 기반한 관습적 표현이다. 더 중요한 이유는 매트릭스의 첫 요소가 관습에 의해 배열의 왼쪽 위에 있어서, f(x,y)의 원점을 그 점으로 선정하는 것이 수학적으로 의미가 있다는 사실이다. 이 표현이 우리가 익숙한 표준 우선(right-handed) 데카르트 좌표( 또는 Cartesian 좌표) 시스템임을 명심한다. 우리는 단순하게 오른쪽과 위쪽을 가리키는 축들 대신에 아래쪽과 오른쪽을 가리키는 축들을 보여준다.

 

샘플링과 양자화를 더 수학적인 항들로 표현하는 것도 때로는 유용할 수 있다. Z와 R로 각각 정수 집합과 실수 집합을 나타내자. 샘플링 과정은 xy-평면을 그리드 눈금으로 구획하고 그리드 눈금의 각 셀의 중앙의 좌표들을 데카르트적(또는 Cartesian 곱) Z²으로부터의 요소 쌍으로 놓는 것으로 볼 수 있다. 이 요소 쌍들은 zi와 zj가 Z로부터로부터의 정수인 모든 정렬된 쌍 (zi, zj)의 집합이다. 따라서, 만일 (x,y)가 Z²으로부터의 정수들이고 f가 각 좌표 쌍 (x,y)에 밝기 값(즉, 실수 집합 R로부터의 실수)을 할당하는 함수라면, f(x,y)는 디지털 영상이다. 이 함수적 할당이 앞에서 기술된 양자화 과정이다. 만일 밝기 레벨들도 정수라면 Z가 R을 대체하고, 그러면 디지털 영상은 좌표들과 진폭 값들이 정수인 2-D 함수가 된다.

이 디지털화 과정에서 M,N 값들과 이산적 밝기 레벨 수 L 값이 결정되어야 한다. M과 N에 대해서는 양의 정수여야 한다는 것 외에는 아무런 제약이 가해지지 않는다. 그러나 저장장치와 양자화 하드웨어의 문제로 인해, 밝기 레벨 수는 대개 2의 정수 거듭제곱 수이다: L=2^k

우리는 이산 레벨들이 등간격이며, 구간 [0, L-1]에 있는 정수라고 가정한다. 때때로, 그레이 스케일에 의해 표현되는 값들의 범위가 비공식적으로 동적 범위라고 불린다. 이것은 다른 분야에서 다른 방법에 사용되는 용어이다. 여기서는 영상화 시스템의 동적 범위를 시스템의 최대 측정 가능 밝기 대 최소 ㄱ머출 가능 밝기 레벨의 비로 정의한다. 대개, 상한은 포화에 의해, 하한은 노이즈에 의해 결정된다. 기본적으로 동적 범위가 시스템이 표현할 수 있는, 그래서 결과적으로 영상이 가질 수 있는 최저 및 최고 밝기 레벨 간의 차이라고 정의하는 영상 콘트라스트가 이 개념과 밀접하게 관련이 있다. 영상의 화소들의 상당수가 높은 동적 범위를 가진다면, 그 영상이 높은 콘트라스트를 가질 것으로 기대할 수 있다. 역으로 동적 범위를 가진다면, 그 영상이 높은 콘트라스트를 가질 것으로 기대할 수 있다. 역으로, 동적범위가 낮은 영상은 보통 흐리고 퇴색한 회색으로 보인다.