샤프닝 공간 필터 (1/2차 미분)

샤프닝의 주요 목적은 밝기의 이행을 강조하는 것이다. 영상 샤프닝의 용도는 여러 가지이며, 전자 인쇄와 의료 영상화로부터 산업용 검사와 군용 시스템의 자동 유도까지의 범위에 걸친 응용들을 포함한다. 바로 앞 절에서 이웃의 화소 평균화에 의해 영상 블러링이 공간 도메인에서 달성될 수 있다는 것을 보았다. 평균화는 적분과 비슷하므로, 샤프닝이 공간 미분에 의해 달성될 수 있다고 결론내리는 것은 논리적이다. 사실이 그러하며, 디지털 미분에 의한 샤프닝용 연산자들을 정의 및 구현하는 다양한 방법들이 있다. 근본적으로, 미분 연산자의 응답의 세기는 연산자가 적용된 점에서의 영상의 밝기 불연속 정도에 비례한다. 따라서 영상 미분은 에지 및 다른 불연속들(노이즈 등)은 강조하고, 밝기가 서서히 변하는 영역들은 경시한다.

 

우선 1-D 미분에 초점을 맞춰보도록 하겠다. 특히 밝기가 일정한 영역, 불연속(계단 및 비탈 불연속들)의 시작 및 끝 영역들, 밝기 비탈 영역에서의 이 미분들의 작용에 관심이 있다. 이 유형의 불연속들은 영상의 노이즈 점, 선, 에지 등을 모델링하는 데 사용될 수 있다. 이 영상들의 특징들로 진입하거나 이들로부터 빠져나오는 이행 동안의 미분의 작용에도 역시 관심이 있다.

디지털 함수의 미분은 차이에 의해 정의된다. 이 차이를 정의하는 다양한 방법이 있다. 그러나 1차 미분을 위해 사용하는 모든 정의는 다음과 같아야 한다
(1) 일정한 밝기 영역에서는 0

(2) 밝기 계단이나 비탈의 시작 부분에서는 0이 아님

(3) 비탈을 따라서는 0이 아님.

 

마찬가지로 2차 미분의 모든 정의는

(1) 일정한 밝기 영역에서는 0

(2) 밝기 계단이나 비탈의 시작 및 끝에서 0이 아님,

(3) 일정한 기울기의 비탈을 따라서는 0이어야 함.

우리가 값이 유한한 디지털 수량을 다루고 있기 때문에, 가능한 밝기 변화 역시 유한하며 이 변화가 일어날 수 있는 최단 거리는 인접 화소들 간이다.

1-D 함수 f(x)의 1차 미분의 기본 정의는 아래와 같다.

1차원 함수의 1차 미분 정의

여기에 편미분을 사용한 이유는 두 변수의 영상 함수 f(x,y)를 고찰할 때와 똑같은 표기를 사용하기 위해서이다. 이때는 두 공간 축 방향으로의 편미분들을 다룰 것이다. 현재 논의에서 편미분을 사용해도 우리가 성취하고자 하는 것의 본질에는 어떠한 영향도 미치지 않는다. 함수에 한 변수만 있을 때는 분명히 ∂f/∂x = df/dx이다. 2차 미분에 대해서도 그렇다.

2-D 함수 f(x)의 2차 미분의 정의는 이러하다.

2차원 함수의 2차 미분 정의

 

위 두 정의가 기술된 조건들을 충족한다는 것은 쉽게 증명될 수 있다. 디지털 함수의 1차 및 2차 미분들 간의 유사성과 차이를 검토하기 위해 아래 그림의 예시를 고찰해보겠다.

 

그림 중간의 스캔 선이 밝기 단면의 한 부분을 보여준다. 작은 정사각형 안의 값은 흑색 점으로 표시된 그림의 스캔 선의 밝기 값이다. 편의상 점들을 점선으로 연결하였다. 이 그림이 보여주듯이, 스캔 선이 비탈과 세 곳의 일정한 밝기 부분과 밝기 계단을 포함하고 있다. 밝기 이행의 시작 또는 끝을 원으로 표시하였다. 앞의 두 정의를 사용해서 계산된 1차 및 2차 미분들이 그림의 스캔 선 밑에 포함되어 있으며, 이는 그림에 나타나있다. 어떤 위치 x에서 1차 미분을 계산할 때, 우리는 그 위치에서의 함수의 값을 다음 점으로부터 뺀다. 따라서 이는 예견(look-ahead)된 연산이다. 마찬가지로, x에서의 2차 미분을 계산하기 위해서는 이전 및 다음 점들을 계산에 사용한다. 이전 또는 다음 점들이 스캔 선 범위의 바깥에 놓이는 상황을 피하기 위해서, 시퀀스의 두 번째부터 끝에서 두 번째 점들까지의 미분 계산 결과들을 그림에 보였다.

단면도를 왼쪽에서 오른쪽으로 지나가면서 1차 및 2차 미분들의 특성을 고찰해보자. 밝기가 일정한 영역을 만나게 되며, 거기에서는 두 미분이 그림이 보여주듯이 0이며, 따라서 둘 다에 대해 조건 (1)이 충족된다. 그 다음, 밝기 비탈과 계단이 이어지며, 비탈과 계단이 시작하는 곳에서 1차 미분이 0이 아니다. 마찬가지로, 같은 위치들에서 2차 미분이 0이 아니다. 그러므로 두 미분에 대해 특성 (2)가 충족된다. 끝으로, 비탈을 따라 1차 미분이 0이 아니고, 2차 미분이 0이므로 특성 (3)도 두 미분에 대해 충족됨을 알 수 있다. 2차 미분의 부호가 계단 또는 비탈의 시작과 끝에서 바뀜을 주목한다. 사실상, 계단 이행에서의 이 두 값을 잇는 선이 두 극 값들 사이의 중간에서 수평축을 가로지르는 것을 그림에서 볼 수 있다. 0점 교차(제로 크로스, zero cross) 특성은 에지를 찾아내는 데 매우 유용하다.

디지털 영상에서의 에지는 흔히 비탈처럼 생긴 밝기 이행이다. 이때 비탈 상에서 1차 미분이 0이 아니기 때문에 영상의 1차 미분은 두꺼운 에지들을 만든다. 반면에, 2차 미분은 0에 의해 분리된 한 화소 두께의 이중 에지를 만든다. 이로부터, 2차 미분이 미세한 디테일을 1차 미분보다 훨씬 잘 개선한다고 결론짓는다. 이 특성은 영상을 선명하게 만드는 데 이상적이다.