스무딩 공간 필터 (스무딩 선형 필터/순서통계 비선형 필터)

스무딩 필터는 블러링(blurring)과 노이즈 축소에 사용된다. 블러링은 (큰) 객체 추출 전에 영상으로부터 작은 디테일을 제거하거나, 선 또는 곡선의 작은 끊김을 잇는 것과 같은 전처리 작업에 사용된다. 노이즈 축소는 선형 필터에 의한 블러링으로도 가능하고 비선형 필터링으로도 가능하다.

 

스무딩 선형 필터

스무딩 선형 공간 필터의 출력(응답)은 단순히 필터 마스크의 이웃에 포함된 화소들의 평균이다. 이 필터는 평균(화) 필터라고도 불린다. 이들은 저역통과 필터라고도 불린다.

스무딩 필터의 배경 개념은 간단하다. 영상의 각 화소의 값을 필터 마스크에 의해 정의되는 이웃에 있는 밝기 레벨들의 평균으로 교체함으로써, 밝기에서의 가파른(sharp) 이행(transition)을 감소시킨다. 랜덤 노이즈가 일반적으로 밝기 레벨에서의 가파른 이행으로 구성되기 때문에, 스무딩의 가장 두드러진 응용은 노이즈 축소이다. 그러나 에지(영상의 매력적인 특징)를 흐리게 하는 바람직스럽지 못한 부작용을 가진다. 이 유형의 프로세스의 또 다른 응용은 밝기 레벨 수가 불충분해서 일어나는 허위 등고선의 스무딩이다. 평균 필터의 주요 용도는 영상의 무의미한(ireelevant) 디테일을 축소하는 데 있다.

 

위 그림은 두 개의 3 × 3 스무딩 필터를 보여준다. 첫 번째 필터를 사용하면 마스크 아래의 화소들의 표준 평균이 나온다. 이것은 이 마스크 계수들을 식에 대입함으로써 가장 잘 보여질 수 있다.

이것은 앞에서 논의된 바와 같이 마스크에 의해 정의되는 3 × 3 이웃에 있는 화소들의 밝기 레벨들의 산술 평균이다. 필터의 계수들이 1/9이 아닌 1임을 주목한다. 이는 계수 값이 1일 때 계산이 더 효율적이기 때문이다. 필터링 프로세스 마지막에 전체 영상을 9로 나눈다. m × n 마스크는 1/mn인 정규화 상수를 갖곤 한다. 모든 계수가 같은 공간 평균 필터는 상자 필터(box filter)라고도 불린다. 두 번째 필터링 마스크는 약간 더 흥미롭다. 이 마스크는 화소들이 서로 다른 계수들로 곱해짐을 의미하기 위해 사용되는 용어인 가중 평균(weighted average)을 제공한다. 이렇게 함으로써, 어떤 화소들에는 더 많은 가중치를 부여하고, 그 대신 다른 화소들의 가중치는 희생된다. 오른쪽 마스크에서 마스크 중앙의 화소는 다른 것들보다 더 큰 값으로 곱해지며, 그럼으로써 평균을 계산할 때 이 화소에 더 큰 중요성이 부여된다. 다른 화소들은 마스크의 중앙으로부터 거리에 반비례하게 가중된다. 중앙 화소의 대각선 이웃들은 직각 이웃들보다 중앙으로부터 더 떨어져 있으므로, 직각 이웃들보다 덜 가중된다. 중앙 점을 가장 크게 가중시키고, 워점으로부터의 거리가 멀수록 계수 값을 줄이는 것의 배경에 있는 기본 전략은 단순히 스무딩 프로세스에서의 블러링을 축소하려는 시도이다. 똑같은 일반적 목표를 달성하기 위해서 다른 가중치들을 선정할 수 있었을 것이다. 그러나 오른쪽 마스크의 모든 계수들의 합이 컴퓨터 구현을 위해 매력적인 특징인 2의 정수 멱승인 16이다. 실제로는 일반적으로 위의 필터 마스크들이나 비슷한 마스크들에 의해 스무딩된 영상들 간의 차이를 분간하기가 힘든데, 그 이유는 영상의 각 위치에서 이 마스크들에 의해 커버되는 영역이 매우 작기 때문이다. 위의 R을 구하는 공식을 참고해서 크기 m × n(m, n은 홀수)의 가중 평균 필터로 M × N 영상을 필터링하기 위한 일반적 구현이 다음의 공식으로 주어진다:

이 식의 파라미터들은 위의 R을 구하는 식에서 정의된 것과 같다. 이와 같이 완성된 필터링 영상은 x=0, 1, 2, ... , M-1, y=0, 1, 2, ... , N-1에 대해 위 식을 적용해서 얻어진다. 분모는 단순히 마스크 계수들의 합이며 따라서 딱 한번만 계산하면 되는 상수이다.

 

 

순서-통계(비선형) 필터

순서 통계 필터는, 그 응답이 필터에 의해 둘러싸인 영상 영역에 담긴 화소들을 정렬(순위를 매김)하고, 순위에 의해 결정된 값으로 중앙 화소의 값을 교체하는 것에 기반하는 비선형 공간 필터이다. 이 부류에서 가장 잘 알려진 필터는 중간(값) 필터로써, 그 이름이 내포하듯 화소의 값을 그 이웃의 밝기 값들의 중간값으로 교체한다(중간값 계산에 화소의 원래 값이 사용된다). 중간값 필터는 매우 인기가 있는데, 그 이유는 특정 유형의 노이즈에 대해 우수한 노이즈 축소 성능을 갖고, 그러면서도 비슷한 크기의 선형 스무딩 필터보다 훨씬 덜 블러링시키기 때문이다. 중간값 필터는 영상에 흑색과 백색의 점들이 뿌려진 것 같은 모양으로 인해 소금과 후추 노이즈라고도 불리는 임펄스 노이즈에 대해 특히 효과적이다.

값들의 집합의 중간값 ξ는 집합의 절반이 ξ 이하의 값을 갖고, 절반은 ξ 이상의 값을 갖는 그런 값이다. 영상의 한 점에서 중간값 필터링을 수행하려면, 우선 이웃의 화소들의 값들을 정렬하고, 중간값을 결정하고, 그 값을 필터링된 영상의 해당 화소에 부여한다. 예를 들면 3 × 3 이웃에서 중간값은 5번째로 큰 값, 5 × 5 이웃에서는 13번째로 큰 값, 기타 등등 이웃의 하나 이상의 값들이 서로 같다면, 같은 값들은 묶여진다. 예를 들어, 3 × 3 이웃이 (10, 20, 20, 20, 15, 20, 20, 25, 100)의 값들을 갖는다고 하자. 이 값들은 (10, 15, 20, 20, 20, 20, 20, 25, 100)으로 정렬되며, 중간값은 20이 된다. 따라서 중간값 필터의 주요 기능은 독특한 밝기 레벨을 갖는 화소를 그 이웃의 화소들과 비슷하게 되게 만드는 것이다. 사실상, 이웃에 비해 밝거나 어두운 고립된 화소 무리들, 그리고 면적이 m²/2 (필터 면적의 절반) 미만인 고립된 화소 무리들은 m × m 중간값 필터에 의해 제거된다. 이 경우 “제거”의 의미는 이웃의 중간 밝기로 되는 것을 의미한다. 큰 무리일수록 훨씬 덜 영향 받는다.

비록 중간값 필터가 영상 처리에서 단연 가장 유용한 순서 통계 필터지만, 결코 유일하지는 않다. 중간값은 순위가 매겨진 숫자들의 집합의 50번째 백분위 수를 나타낸다. 그러나 우리는 기초 통계학으로부터 순위가 많은 다른 가능성들에 대해 열려 있음을 알고 있다. 예를 들면, 100번째 백분위수를 사용한 결과는 영상에서 가장 밝은 화소를 찾는데 유용한 소위 max 필터이다. 3 × 3 max 필터의 응답은 아래 식으로 주어진다.

0번째 백분위수 필터는 반대 용도의 min 필터이다. 중간값, max, min, 그리고 몇몇 다른 비선형 필터들도 추후에 다루게 될 때 고찰하도록 하겠다.